Geometria de la composició

'La gent m’acusa de que sóc un matemàtic, però no sóc un matemàtic, sóc un geòmetra’

                                                                                                                                                                                         —A. Schönberg   

Contemporani d'alguns dels més grans matemàtics i científics de la Història, com són Leibniz, Newton i Euler, Bach va viure en una època d'autèntica revolució intel·lectual a la qual, sens dubte, va contribuir des de la Música. Tot i la carta que el seu fill Carl Philipp Emanuel va escriure a J. N. Forkel advertint que el seu pare ‘no era amant del sec material matemàtic’, la veritat és que la grandesa estructural de les seves obres, així com la manera de resoldre un problema secular a través d'El clavecí ben temperat (1722, 1744) són formes brillants de fer matemàtiques de les quals Bach potser només va ser conscient al final de la seva vida.

 

Bach manifestava també una tàcita predisposició cap a les lleis de la simetria i de l'harmonia universals que proporciona moltes sorpreses a la seva obra.

 

Durant molts anys, Bach no va ser conscient del rigor científic de les seves obres perquè, en paraules del seu fill Carl Philipp Emanuel, ‘no es deixava arrossegar per profundes consideracions teòriques i dedicava, en canvi, les seves energies a la pràctica’. Però, després de nou anys de negativa, l'estiu de 1747, Johann Sebastian va accedir a ingressar a la Sozietät der Musicalischen Wissenschaften (Societat de les Ciències Musicals). Era una societat elitista, que només va arribar a comptar amb vint membres, creada per L. C. Mizler (1711-1778), un alumne de Bach, que a més de músic va ser matemàtic, físic, filòsof i metge. El propòsit era investigar la relació entre música i matemàtiques i, de fet, el propi Mizler va contribuir a l'objectiu de la Societat publicant un tractat de composició basat en l'Ars combinatoria de Leibniz.

 

Quan Johann Sebastian va ingressar a la Societat, ja sabia que en la seva manera d'abordar els cànons o les fugues s'ocultaven raonaments matemàtics. De fet, per formar part de la Soziëtat va presentar com a treball científic una peça canònica basada en la seva Vom Himmel hoch (BWV 769), juntament amb un cànon a sis veus de les Variacions Goldberg. A més d'aquestes dues obres va aportar un retrat, una altra de les exigències de la selecta societat, que s'ha convertit en la imatge més coneguda de Bach.

 

L’estructura de les seves obres és pura geometria. La genialitat de Bach arriba al seu zenit amb el contrapunt i la fuga, composicions en què l'estructura geomètrica és inqüestionable. Es parteix d'un o diversos temes i se'ls sotmet a transformacions geomètriques que mantenen la forma del tema: translacions, girs i simetries que confereixen a l'obra una estructura molt rígida, però en la qual el compositor va trobar una font de inspiració. Es plantejava les fugues amb el mateix rigor estructural que un geòmetra, però hi afegia una velocitat i brillantor en la improvisació, que van resultar admirables. Serveixin com a mostra les paraules de Forkel referint-se a la visita de  Bach al rei Frederic de Prússia (1712-1786): ‘[…] Bach li va demanar al rei un tema per a una fuga, oferint-se a executar-la immediatament, sense cap preparació. El rei va quedar admirat [..] i va expressar el desig de sentir una fuga a sis veus obligades. Però com que no qualsevol tema es presta per a una harmonia tan rica, Bach mateix en va triar un, i tot seguit, amb sorpresa per a tots els presents el va desenvolupar de la mateixa sàvia i magnífica manera com havia desenvolupat abans el tema del rei’.

 

La relació entre música i geometria ha fascinat el pensament occidental des de l'aparició de Pitàgores, el savi de Samos que va ser iniciat pels sacerdots egipcis en els misteris del cosmos i que va creure percebre un mateix patró matemàtic, una harmonia entre les estrelles i les cordes musicals. Un prototeorema, que ha estat famosament expressat en la frase ‘hi ha geometria en la vibració de les cordes, hi ha música en els espais entre les esferes’.

 

La música de Bach sembla confirmar la idea platònica de que la bellesa és ordre, una imatge dels principis arquetípics de la creació.

 

En l'última etapa de la seva vida Bach es va interessar molt per la simetria musical, creant una sèrie d'endevinalles o problemes musicals per als seus alumnes.

 

Aquestes endevinalles o trencaclosques sobretot presents en els seus cànons i fugues, els quals havien de ser desxifrats per poder ser interpretats correctament —d’aquí la inscripció de Quaerendo Invenietis, ‘Cerca i hauràs de trobar’— es troben a la seva col·lecció Ofrena musical, BWV 1079, completada dos mesos després de la visita al rei esmentada, una de les grans obres mestres de simetria musical i en la qual es revela la visió toral de Bach: la música és una ofrena a la divinitat, i en ella la glòria divina queda palesa.

 

La simetria no només s’aprecia en el disseny de frases i motius melòdics, sinó que en estructures formals més complexes també poden observar-se, des d’una òptica matemàtica, dissenys interessants en l’organització de les seves parts. L’anàlisi formal d’una obra estudia el ‘pla de l’obra’, és a dir, les parts que la composen i les connexions que existeixen entre elles. 

 

En diverses de les seves obres, Bach presenta particularitats simbòliques també a l’estructura i contingut dels textos. És conegut el cas de la Missa en Si menor, però també ho podem apreciar en el cas de les Misses Luteranes.  Cada missa està composta per 6 números, agrupats en 2 parts, ‘Kyrie’ i ‘Gloria’. Cada una d’elles és igualment dividida en 3 i 9 parts respectivament. La idea del compositor  era simbolitzar la Santíssima Trinitat tant en la forma musical com en la numèrica (el número 3 ⏤i, per extensió, el 9⏤ representa la Santíssima Trinitat). Tant  en el total de números de l’obra, que simbolitza la Creació, el número perfecte 6, com en cada una de les distribucions de les 2 parts (3+9) trobem la divisibilitat per 3. 

 

La més evident és l’estructura simètrica observable al ‘Kyrie’, l’eix central de la qual és el ‘Crist’.

 

Kyrie eleison

     Christe eleison

Kyrie eleison 

 

Però també podem trobar una estructura simètrica al ‘Gloria’, amb el centre de simetria a la secció ‘Domine Deus’ (Déu, Senyor nostre): Déu  com a eix central de tota la glòria.

 

Gloria in excelsis

Et in terra pax 

Laudamus te

Gratias agimus tibi

     Domine Deus 

Qui tollis peccata mundi 

Qui sedes ad dextram Patris

Quoniam tu solus sanctus

Cum Sancto Spiritu

  • facebook-square
  • Twitter Square
  • youtube-square
  • instagram

AlmaMATER, 2019